4. В треугольнике ABC AB = 3√2, AC = 4, S₍ABC₎ = 12. Найти BC.

Площадь через две стороны и угол между ними:

\(S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin A\).

\(12=\frac12\cdot3\sqrt2\cdot4\cdot\sin A=6\sqrt2\sin A\), поэтому \(\sin A=\sqrt2\).

Но для действительного угла треугольника \(\sin A\leq1\). Полученное значение невозможно, следовательно, указанные данные противоречивы: такого треугольника не существует, и найти \(BC\) по ним нельзя.

Ответ: задача не имеет решения при данных значениях.