4. В треугольнике ABC AB = 8√3, BC = 6, S₍ABC₎ = 6√3. Найти AC.

Площадь по двум сторонам и синусу угла между ними:

\(S_{ABC}=\frac12 AB\cdot BC\cdot\sin B\).

Подставим значения: \(6\sqrt3=\frac12\cdot8\sqrt3\cdot6\cdot\sin B=24\sqrt3\sin B\), значит \(\sin B=\frac14\).

Тогда \(\cos B=\pm\frac{\sqrt{15}}4\): возможны острый и тупой углы \(B\). По теореме косинусов:

\(AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos B=228-96\sqrt3\cos B\).

При остром угле: \(AC^2=228-24\sqrt{45}=228-72\sqrt5\), поэтому \(AC=\sqrt{228-72\sqrt5}\).

При тупом угле: \(AC^2=228+72\sqrt5\), поэтому \(AC=\sqrt{228+72\sqrt5}\).

Оба значения допустимы: площадь задаёт синус угла, но не определяет, острый он или тупой.

Ответ: \(AC=\sqrt{228-72\sqrt5}\) или \(AC=\sqrt{228+72\sqrt5}\).