4. В треугольнике ABC AB = 8√3, BC = 6, SABC = 6√3. Найти AC.

Площадь выражается через две стороны и угол между ними:

\(S_{ABC}=\frac12 AB\cdot BC\cdot\sin B\).

Подставим значения: \(6\sqrt3=\frac12\cdot8\sqrt3\cdot6\cdot\sin B=24\sqrt3\sin B\). Значит, \(\sin B=\frac14\).

Тогда \(\cos B=\pm\sqrt{1-\sin^2 B}=\pm\frac{\sqrt{15}}4\); возможны два угла — острый и тупой. По теореме косинусов:

\(AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos B=228-144\sqrt3\cos B\).

Если угол \(B\) острый, \(AC^2=228-36\sqrt{45}=228-108\sqrt5\), поэтому \(AC=\sqrt{228-108\sqrt5}\).

Если угол \(B\) тупой, \(AC^2=228+108\sqrt5\), поэтому \(AC=\sqrt{228+108\sqrt5}\).

Данных недостаточно, чтобы выбрать один из двух случаев: площадь задаёт значение синуса, но не различает острый и тупой угол.

Ответ: \(AC=\sqrt{228-108\sqrt5}\) или \(AC=\sqrt{228+108\sqrt5}\).