№ 4. В треугольнике ABC известно: AB = 8, BC = 8√2, ∠B = 45°. Найдите оставшиеся стороны и углы треугольника.

Сначала найдём сторону AC по теореме косинусов:

\(AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cos B\).

\(AC^2=8^2+(8\sqrt2)^2-2\cdot8\cdot8\sqrt2\cdot\cos45^\circ=64+128-128=64\), значит, \(AC=8\).

Стороны AB и AC равны, поэтому противоположные им углы C и B равны: \(\angle C=45^\circ\). Тогда \(\angle A=180^\circ-45^\circ-45^\circ=90^\circ\).

Ответ: \(AC=8\), \(\angle A=90^\circ\), \(\angle C=45^\circ\).