4) В треугольнике ABC известно, что сторона AB = 5 см, BC = 8 см, ∠A = 30°. Найти длину AC, угол B и угол C.

Обозначим \(a=BC=8\) см, \(c=AB=5\) см, \(b=AC\). По теореме косинусов для угла \(A\):

\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\).

Подставим данные: \(64=b^2+25-5\sqrt3\,b\), поэтому \(b^2-5\sqrt3\,b-39=0\).

Решаем квадратное уравнение: \(b=\dfrac{5\sqrt3\pm\sqrt{231}}{2}\). Отрицательный корень не может быть длиной стороны, значит \(AC=\dfrac{5\sqrt3+\sqrt{231}}{2}\approx13.36\) см.

По теореме синусов \(\sin C=\dfrac{c\sin A}{a}=\dfrac{5}{16}\). Следовательно, \(C\approx18.21^\circ\) или \(161.79^\circ\). Второе значение невозможно, так как сумма углов треугольника превысила бы \(180^\circ\).

Тогда \(B=180^\circ-30^\circ-C\approx131.79^\circ\).

Ответ: \(AC=\dfrac{5\sqrt3+\sqrt{231}}{2}\approx13.36\) см; \(\angle B\approx131.79^\circ\); \(\angle C\approx18.21^\circ\).