4. В треугольнике ABC проведена биссектриса BD. Угол ∠A = 50°, угол ∠C = 70°. Докажите, что отрезок BD > DC. (Подсказка: рассмотрите угол ∠BDC как внешний для △ABD).

1. Найдём угол B треугольника ABC:

\(\angle B=180^\circ-50^\circ-70^\circ=60^\circ\).

2. Так как BD — биссектриса, то

\(\angle ABD=\angle DBC=\frac{60^\circ}{2}=30^\circ\).

3. Угол \(\angle BDC\) является внешним углом треугольника ABD, поэтому он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

\(\angle BDC=\angle A+\angle ABD=50^\circ+30^\circ=80^\circ\).

4. В треугольнике BDC:

\(\angle DBC=30^\circ\), \(\angle BDC=80^\circ\), поэтому \(\angle BCD=70^\circ\).

В треугольнике сторона, лежащая напротив большего угла, длиннее стороны, лежащей напротив меньшего угла. Сторона BD лежит напротив угла \(70^\circ\), а DC — напротив угла \(30^\circ\).

Ответ: \(BD>DC\).