4. В треугольнике ABC угол ∠B = 105°, угол ∠A = 45°, BC = 8 см. Найти AB.

Сначала найдём третий угол: \(\angle C=180^\circ-105^\circ-45^\circ=30^\circ\).

По теореме синусов сторона \(AB\), лежащая напротив угла \(C\), связана со стороной \(BC=8\) см, лежащей напротив угла \(A\):

\(\frac{AB}{\sin30^\circ}=\frac{8}{\sin45^\circ}\).

Отсюда \(AB=8\cdot\frac{\sin30^\circ}{\sin45^\circ}=8\cdot\frac{1/2}{\sqrt2/2}=4\sqrt2\) см.

Ответ: \(4\sqrt2\) см (примерно 5,66 см).