4. В треугольнике АВС <C = 30°, AC = 10 см, ВС = 8 см. Через вершину А проведена прямая а, параллельная ВС. Найти: а) расстояние от точки В до прямой АС, б) расстояние между прямыми а и ВС.

Решение:

Дано: \( \Delta ABC \), \( \angle C = 30^{\circ} \), \( AC = 10 \) см, \( BC = 8 \) см. Прямая \( a \parallel BC \), проходит через A.

Найти: а) расстояние от B до AC; б) расстояние между прямыми \( a \) и \( BC \).

а) Расстояние от точки B до прямой AC:

Это высота \( h_b \) треугольника ABC, опущенная из вершины B на сторону AC. В прямоугольном треугольнике, образованном этой высотой, стороной BC и частью AC, высота будет катетом, противолежащим углу C. Используем синус угла C:

\[ h_b = BC \cdot \sin(\angle C) \]

\[ h_b = 8 \text{ см} \cdot \sin(30^{\circ}) \]

\[ h_b = 8 \text{ см} \cdot \frac{1}{2} = 4 \text{ см} \]

б) Расстояние между прямыми a и BC:

Так как прямая \( a \) параллельна BC, расстояние между ними — это постоянная величина. Это расстояние равно высоте треугольника ABC, опущенной из вершины A на сторону BC. Обозначим ее \( h_a \).

Для нахождения \( h_a \) сначала найдем площадь треугольника ABC двумя способами:

1. Через две стороны и угол между ними:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin(\angle C) \]

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 10 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} \cdot \sin(30^{\circ}) \]

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 20 \text{ см}^2 \]

2. Через основание BC и высоту \( h_a \):

\[ S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_a \]

\[ 20 \text{ см}^2 = \frac{1}{2} \cdot 8 \text{ см} \cdot h_a \]

\[ 20 = 4 \cdot h_a \]

\[ h_a = \frac{20}{4} = 5 \text{ см} \]

Таким образом, расстояние между прямыми \( a \) и \( BC \) равно \( h_a \).

Ответ: а) Расстояние от точки В до прямой АС равно 4 см. б) Расстояние между прямыми а и ВС равно 5 см.