4. В треугольнике АВС известно, что ∠C=90°, ∠A=30°, отрезок ВМ — биссектриса треугольника. Найдите катет АС, если ВМ =6 см.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике \( ABC \) известно \( \angle C = 90° \) и \( \angle A = 30° \). Следовательно, \( \angle B = 180° - 90° - 30° = 60° \).
2. \( BM \) — биссектриса угла \( B \), значит, \( \angle ABM = \angle MBC = \angle B / 2 = 60° / 2 = 30° \).
3. Рассмотрим треугольник \( BCM \). \( \angle C = 90° \), \( \angle MBC = 30° \). Следовательно, \( \angle BMC = 180° - 90° - 30° = 60° \).
4. В треугольнике \( BCM \) против угла в 30° лежит катет \( CM \), который равен половине гипотенузы \( BM \). \( CM = BM / 2 = 6 \text{ см} / 2 = 3 \text{ см} \).
5. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \( ABM \). \( \angle A = 30° \), \( \angle ABM = 30° \). Это означает, что треугольник \( ABM \) равнобедренный с основанием \( AM \). Значит, \( AM = BM = 6 \text{ см} \).
6. Катет \( AC = AM + CM = 6 \text{ см} + 3 \text{ см} = 9 \text{ см} \).

Ответ: 9 см.