4. В треугольнике АВС известно, что ∠C = 90°, ∠A = 30°, отрезок ВМ — биссектриса треугольника. Найдите катет АС, если ВМ = 6 см.

Краткая запись:

• Треугольник ABC: ∠C = 90°, ∠A = 30°
• BM — биссектриса
• BM = 6 см
• Найти: AC — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем ∠B в треугольнике ABC. Сумма углов в треугольнике равна 180°.
   ∠A + ∠B + ∠C = 180°
   30° + ∠B + 90° = 180°
   120° + ∠B = 180°
   ∠B = 60°.
2. Шаг 2: Так как BM — биссектриса, она делит ∠B на два равных угла.
   ∠ABM = ∠MBC = ∠B / 2 = 60° / 2 = 30°.
3. Шаг 3: Рассмотрим треугольник ABM. У нас есть ∠A = 30°, ∠ABM = 30°. Значит, треугольник ABM равнобедренный с AB = BM.
   AB = BM = 6 см.
4. Шаг 4: Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику ABC. Мы знаем гипотенузу AB = 6 см и ∠A = 30°. Мы можем найти катет AC, который прилегает к углу A.
   Используем косинус: \( \cos(A) = \frac{AC}{AB} \)
   \( \cos(30°) = \frac{AC}{6} \)
   \( AC = 6 \cdot \cos(30°) \)
   \( AC = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \)
   \( AC = 3\sqrt{3} \) см.

Ответ: $$3\sqrt{3}$$ см