4. В треугольнике АВС угол В равен 135°, угол С равен 30°, АВ = 10√2. Найдите АС.

Задание 4

Дано:

• Треугольник \(ABC\).
• \(\angle B = 135°\).
• \(\angle C = 30°\).
• \(AB = 10\sqrt{2}\).

Найти: \(AC\).

Решение:

1. Найдем угол \(\angle A\) в треугольнике \(ABC\). Сумма углов треугольника равна 180°: \[ \angle A = 180° - \angle B - \angle C = 180° - 135° - 30° = 15° \]
2. Теперь применим теорему синусов для нахождения стороны \(AC\). Теорема синусов гласит: \[ \frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)} \]
3. Подставим известные значения: \[ \frac{AC}{\sin(135°)} = \frac{10\sqrt{2}}{\sin(30°)} \]
4. Значения синусов: \(\sin(135°) = \sin(180° - 45°) = \sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\sin(30°) = \frac{1}{2}\).
5. Подставим значения синусов в уравнение: \[ \frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{10\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} \]
6. Упростим: \[ AC \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2} \cdot 2 \]
7. Выразим \(AC\): \[ AC = \frac{10\sqrt{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{2}}{2} \]
8. Сократим и вычислим: \[ AC = 10\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 10 \cdot 2 = 20 \]

Ответ: 20