7. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 32, боковая сторона 13. Найдите высоту трапеции.

Задание 7

Дано:

• Равнобедренная трапеция \(ABCD\).
• Большее основание \(BC = 32\).
• Меньшее основание \(AD = 8\).
• Боковая сторона \(AB = CD = 13\).

Найти: высоту \(h\) трапеции.

Решение:

1. Проведем две высоты из вершин \(A\) и \(D\) к большему основанию \(BC\). Пусть они опустятся в точках \(E\) и \(F\) соответственно.
2. Получим прямоугольник \(AEFD\), где \(EF = AD = 8\).
3. Так как трапеция равнобедренная, то отрезки \(BE\) и \(FC\) равны.
4. \(BE + EF + FC = BC\)
5. \(BE + 8 + FC = 32\)
6. Так как \(BE = FC\), то \(2 \times BE + 8 = 32\)
7. \(2 \times BE = 32 - 8 = 24\)
8. \(BE = \frac{24}{2} = 12\).
9. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABE\). У нас есть гипотенуза \(AB = 13\) и катет \(BE = 12\).
10. Найдем второй катет \(AE\), который является высотой трапеции \(h\), по теореме Пифагора: \[ AE^2 + BE^2 = AB^2 \]
11. \(h^2 + 12^2 = 13^2\)
12. \(h^2 + 144 = 169\)
13. \(h^2 = 169 - 144 = 25\)
14. \(h = \sqrt{25} = 5\).

Ответ: 5