4. В треугольнике DEF стороны DE = 7 см, EF = 9 см, DF = [неясно: 11,5 см или 11 см]. Найдите большего угла треугольника.

На изображении длина DF читается не вполне ясно: вероятнее всего, это 11,5 см; также возможно прочтение 11 см. В обоих случаях DF — наибольшая сторона, поэтому наибольший угол лежит напротив неё, то есть это \(\angle E\).

Если \(DF=11{,}5\text{ см}\), то по теореме косинусов \(\cos E=\frac{DE^2+EF^2-DF^2}{2\cdot DE\cdot EF}=\frac{7^2+9^2-11{,}5^2}{2\cdot7\cdot9}=-\frac1{56}\). Следовательно, \(\angle E=\arccos\left(-\frac1{56}\right)\approx91{,}02^\circ\).

Если же \(DF=11\text{ см}\), то \(\cos E=\frac{7^2+9^2-11^2}{2\cdot7\cdot9}=\frac1{14}\), поэтому \(\angle E\approx85{,}90^\circ\).

Ответ: наибольший угол — \(\angle E\); при DF = 11,5 см он примерно равен 91,02°, а при DF = 11 см — примерно 85,90°.