4. В треугольнике MNK O — точка пересечения медиан. Выразите вектор \(\overrightarrow{OM}\) через векторы \(\vec d=\overrightarrow{NM}\) и \(\vec b=\overrightarrow{KM}\).

Центр тяжести треугольника делит медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Обозначим через P середину NK. Тогда \(\overrightarrow{MP}=\frac12(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MK})\).

Так как \(\overrightarrow{MN}=-\vec d\) и \(\overrightarrow{MK}=-\vec b\), получаем \(\overrightarrow{MP}=-\frac12(\vec d+\vec b)\).

Поскольку \(\overrightarrow{MO}=\frac23\overrightarrow{MP}\), имеем \(\overrightarrow{MO}=-\frac13(\vec d+\vec b)\). Меняем направление вектора:

Ответ: \(\overrightarrow{OM}=\frac13(\vec d+\vec b)\).