4*. В треугольнике MNK точка O — точка пересечения медиан [дальнейший фрагмент условия обрезан]. \(\overrightarrow{MN}=\vec x\), \(\overrightarrow{MK}=\vec y\), \(\overrightarrow{MO}=k\cdot(\vec x+\vec y)\). Найдите число k.

Медианы треугольника пересекаются в центре тяжести, который делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Пусть M — начало отсчёта. Тогда радиус-векторы вершин N и K равны \(\vec x\) и \(\vec y\), а третьей вершины — \(\vec 0\).

Радиус-вектор точки пересечения медиан равен среднему арифметическому радиус-векторов вершин:

\(\overrightarrow{MO}=\frac{\vec 0+\vec x+\vec y}{3}=\frac13(\vec x+\vec y)\).

Сравнивая с данным равенством, получаем \(k=\frac13\).

Ответ: \(k=\frac13\).