№ 4*. В треугольнике \(MNK\) точка \(O\) — точка пересечения медиан. \(\overrightarrow{MN}=\vec i\), \(\overrightarrow{MK}=\vec j\), \(\overrightarrow{MO}=k\cdot(\vec i+\vec j)\). Найдите число \(k\).

Пусть \(Q\) — середина стороны \(NK\). Тогда \(\overrightarrow{MQ}=\frac{1}{2}(\vec i+\vec j)\), поскольку \(\overrightarrow{MN}=\vec i\) и \(\overrightarrow{MK}=\vec j\).

Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении \(2:1\), считая от вершины. Поэтому \(\overrightarrow{MO}=\frac{2}{3}\overrightarrow{MQ}=\frac{1}{3}(\vec i+\vec j)\).

Сравнивая с заданным равенством, получаем \(k=\frac{1}{3}\).

Ответ: \(k=\frac{1}{3}\).