№ 4. В треугольнике \(MNK\) точка \(O\) — точка пересечения медиан, \(\overrightarrow{MN}=\vec x\), \(\overrightarrow{MK}=\vec y\), \(\overrightarrow{MO}=k\cdot(\vec x+\vec y)\). Найдите число \(k\).

Медианы треугольника пересекаются в центре тяжести, который делит каждую медиану в отношении \(2:1\), считая от вершины. Поэтому \(\overrightarrow{MO}=\frac23\overrightarrow{MQ}\), где \(Q\) — середина \(NK\).

Так как \(\overrightarrow{MN}=\vec x\) и \(\overrightarrow{MK}=\vec y\), радиус-вектор середины \(Q\), отсчитанный от \(M\), равен \(\overrightarrow{MQ}=\frac12(\vec x+\vec y)\).

Следовательно, \(\overrightarrow{MO}=\frac23\cdot\frac12(\vec x+\vec y)=\frac13(\vec x+\vec y)\). Сравнивая с условием, получаем \(k=\frac13\).

Ответ: \(k=\frac13\).