4*. В треугольнике MNK точка O — точка пересечения медиан. Выразите векторы MN = x, MK = y, MO = k·(x + y). Найдите число k.

Медианы треугольника пересекаются в центре тяжести. Он делит каждую медиану, считая от вершины, в отношении 2:1, поэтому \(\overrightarrow{MO}=\frac{2}{3}\overrightarrow{MQ}\), где Q — середина NK.

Относительно точки M: \(\overrightarrow{MN}=\mathbf{x}\), \(\overrightarrow{MK}=\mathbf{y}\). Так как Q — середина NK, \(\overrightarrow{MQ}=\frac{1}{2}(\mathbf{x}+\mathbf{y})\). Тогда

\(\overrightarrow{MO}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}(\mathbf{x}+\mathbf{y})=\frac{1}{3}(\mathbf{x}+\mathbf{y})\).

Сравнивая с \(\overrightarrow{MO}=k(\mathbf{x}+\mathbf{y})\), получаем \(k=\frac{1}{3}\).

Ответ: \(k=\frac{1}{3}\).