4. В треугольнике PQR известно, что \( \angle P = 72^\circ \), \( \angle Q = 38^\circ \). Биссектриса угла P пересекает сторону QR в точке M. Найдите угол PMR.

Решение:

Дано: \( \triangle PQR \), \( \angle P = 72^\circ \), \( \angle Q = 38^\circ \). \( PM \) — биссектриса \( \angle P \). Найти \( \angle PMR \).

1. Найдем \( \angle R \) в \( \triangle PQR \): Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \).



\[ \angle R = 180^\circ - (\angle P + \angle Q) = 180^\circ - (72^\circ + 38^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \]



2. Так как \( PM \) — биссектриса \( \angle P \), то она делит угол \( \angle P \) пополам:



\[ \angle RPM = \frac{\angle P}{2} = \frac{72^\circ}{2} = 36^\circ \]



3. Рассмотрим \( \triangle PMR \). Мы знаем \( \angle R = 70^\circ \) и \( \angle RPM = 36^\circ \).


4. Найдем \( \angle PMR \) в \( \triangle PMR \):



\[ \angle PMR = 180^\circ - (\angle R + \angle RPM) = 180^\circ - (70^\circ + 36^\circ) = 180^\circ - 106^\circ = 74^\circ \]

Ответ: 74°.