5. Один из углов прямоугольного треугольника равен 30°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см. Найдите меньший катет и гипотенузу.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник \( \triangle ABC \), где \( \angle C = 90^\circ \). Пусть \( \angle A = 30^\circ \). Тогда \( \angle B = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \).

В прямоугольном треугольнике против угла в \( 30^\circ \) лежит катет, равный половине гипотенузы. Обозначим гипотенузу \( c \), а меньший катет (противолежащий углу \( 30^\circ \)) — \( a \). Тогда \( a = \frac{c}{2} \) или \( c = 2a \).

По условию задачи, сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см:
\( c + a = 42 \)

Подставим \( c = 2a \) в уравнение:

\[ 2a + a = 42 \]

\[ 3a = 42 \]

\[ a = \frac{42}{3} \]

\[ a = 14 \]

Итак, меньший катет \( a = 14 \) см.

Найдем гипотенузу \( c \):

\[ c = 2a = 2 \cdot 14 = 28 \]

Гипотенуза \( c = 28 \) см.

Проверка: \( c + a = 28 + 14 = 42 \) см. Условие выполнено.

Ответ: меньший катет 14 см, гипотенуза 28 см.