4. В треугольнике XYZ точка O — точка пересечения медиан. Выразите вектор \(\overrightarrow{YO}\) через векторы \(\vec p=\overrightarrow{XZ}\) и \(\vec q=\overrightarrow{XY}\).

Пусть M — середина XZ. Точка O делит медиану YM в отношении \(YO:OM=2:1\), поэтому \(\overrightarrow{YO}=\frac23\overrightarrow{YM}\).

Так как \(\overrightarrow{YX}=-\vec q\), имеем \(\overrightarrow{YZ}=\overrightarrow{YX}+\overrightarrow{XZ}=\vec p-\vec q\). Радиус-вектор середины M относительно Y — среднее векторов до X и Z:

\(\overrightarrow{YM}=\frac12(\overrightarrow{YX}+\overrightarrow{YZ})=\frac12(-\vec q+\vec p-\vec q)=\frac12\vec p-\vec q\).

Тогда \(\overrightarrow{YO}=\frac23(\frac12\vec p-\vec q)=\frac13\vec p-\frac23\vec q\).

Ответ: \(\overrightarrow{YO}=\frac13\vec p-\frac23\vec q\).