4. В уравнении \(x^2 + 11x + q = 0\) один из корней равен -7. Найти другой корень и коэффициент q.

Решение:

Пусть \( x_1 \) и \( x_2 \) — корни данного квадратного уравнения \( x^2 + 11x + q = 0 \). По теореме Виета, для приведённого квадратного уравнения (где коэффициент при \( x^2 \) равен 1) сумма корней равна коэффициенту при \( x \) с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

\( x_1 + x_2 = -11 \)

\( x_1 \cdot x_2 = q \)

По условию, один из корней равен -7. Пусть \( x_1 = -7 \).

1. Найдем второй корень \( x_2 \) из уравнения для суммы корней:
   \( -7 + x_2 = -11 \)
   \( x_2 = -11 + 7 \)
   \( x_2 = -4 \)
2. Найдем коэффициент \( q \) из уравнения для произведения корней:
   \( q = x_1 \cdot x_2 \)
   \( q = (-7) \cdot (-4) \)
   \( q = 28 \)

Ответ: другой корень равен -4, коэффициент q равен 28.