5. Расстояние между двумя пристанями 72 км, моторная лодка проходит по течению реки на 2 часа быстрее, чем против течения. Найти скорость течения реки, если собственная скорость лодки равна 15 км/ч.

Решение:

Обозначим:

• \( S \) — расстояние между пристанями, \( S = 72 \) км.
• \( v_л \) — собственная скорость лодки, \( v_л = 15 \) км/ч.
• \( v_т \) — скорость течения реки (искомая величина).

Скорость лодки по течению: \( v_{по} = v_л + v_т = 15 + v_т \) км/ч.

Скорость лодки против течения: \( v_{против} = v_л - v_т = 15 - v_т \) км/ч.

Время в пути по течению: \( t_{по} = \frac{S}{v_{по}} = \frac{72}{15 + v_т} \) ч.

Время в пути против течения: \( t_{против} = \frac{S}{v_{против}} = \frac{72}{15 - v_т} \) ч.

По условию, лодка проходит расстояние по течению на 2 часа быстрее, чем против течения, то есть \( t_{против} - t_{по} = 2 \).

1. Составим уравнение:

\( \frac{72}{15 - v_т} - \frac{72}{15 + v_т} = 2 \)

1. Приведём дроби к общему знаменателю \( (15 - v_т)(15 + v_т) = 15^2 - v_т^2 = 225 - v_т^2 \):

\( \frac{72(15 + v_т) - 72(15 - v_т)}{(15 - v_т)(15 + v_т)} = 2 \)

\( \frac{1080 + 72v_т - 1080 + 72v_т}{225 - v_т^2} = 2 \)

\( \frac{144v_т}{225 - v_т^2} = 2 \)

1. Решим полученное уравнение:

\( 144v_т = 2(225 - v_т^2) \)

\( 144v_т = 450 - 2v_т^2 \)

\( 2v_т^2 + 144v_т - 450 = 0 \)

Разделим всё на 2:

\( v_т^2 + 72v_т - 225 = 0 \)

1. Решим квадратное уравнение относительно \( v_т \) с помощью дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac = 72^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-225) = 5184 + 900 = 6084 \)

\( \sqrt{6084} = 78 \)

\( v_т = \frac{-72 \pm 78}{2} \)

1. Найдем два возможных значения \( v_т \):

\( v_{т1} = \frac{-72 + 78}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)

\( v_{т2} = \frac{-72 - 78}{2} = \frac{-150}{2} = -75 \)

1. Так как скорость течения не может быть отрицательной, выбираем положительное значение.

Ответ: скорость течения реки равна 3 км/ч.