4. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,3. Производится 8 независимых выстрелов. Найти вероятность того, что цель будет поражена в точности 3 раза.

Решение:

Это задача на биномиальное распределение. Вероятность успеха (попадания) \( p = 0.3 \). Вероятность неудачи (промаха) \( q = 1 - p = 1 - 0.3 = 0.7 \). Количество испытаний \( n = 8 \). Требуется найти вероятность того, что будет ровно \( k = 3 \) попадания.

Формула Бернулли:

\[ P(X=k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

Где \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) — число сочетаний.

Подставим значения:

\[ C(8, 3) = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56 \]

Теперь найдем вероятность:

\[ P(X=3) = 56 \cdot (0.3)^3 \cdot (0.7)^{8-3} = 56 \cdot (0.3)^3 \cdot (0.7)^5 \]

Вычислим степени:

\[ (0.3)^3 = 0.027 \]

\[ (0.7)^5 = 0.16807 \]

Теперь перемножим все множители:

\[ P(X=3) = 56 \cdot 0.027 \cdot 0.16807 = 1.512 \cdot 0.16807 \approx 0.25412184 \]

Округлим до 4 знаков после запятой.

Ответ: 0,2541