Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Пусть \( P_1 = 0.3 \) — вероятность уничтожения цели первым выстрелом.
Пусть \( P_{pos} = 0.7 \) — вероятность уничтожения цели при каждом последующем выстреле (начиная со второго).
Обозначим \( k \) — количество выстрелов.
Мы хотим найти минимальное \( k \) такое, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98.
Вероятность того, что цель НЕ будет уничтожена за \( k \) выстрелов:
- Вероятность не уничтожить с 1-го выстрела: \( q_1 = 1 - P_1 = 1 - 0.3 = 0.7 \)
- Вероятность не уничтожить со 2-го выстрела (при условии, что и с первого не уничтожили): \( q_2 = 1 - P_{pos} = 1 - 0.7 = 0.3 \)
- Вероятность не уничтожить с 3-го выстрела (при условии, что и со 2-го не уничтожили): \( q_3 = 1 - P_{pos} = 0.3 \)
- ...
- Вероятность не уничтожить с \( (k-1) \)-го выстрела (при условии, что и с \( (k-2) \)-го не уничтожили): \( q_{k-1} = 1 - P_{pos} = 0.3 \) (для \( k > 1 \)).
Вероятность того, что цель не будет уничтожена за \( k \) выстрелов, равна произведению вероятностей неудачи на каждом шаге:
Если \( k=1 \): \( P(\text{не уничтожена за 1 выстрел}) = q_1 = 0.7 \).
Если \( k > 1 \): \( P(\text{не уничтожена за k выстрелов}) = q_1 \cdot q_2 \cdot q_3 \cdot ... \cdot q_k \) = \( 0.7 \cdot (0.3)^{k-1} \).
Вероятность того, что цель будет уничтожена за \( k \) выстрелов, равна 1 минус вероятность того, что она не будет уничтожена:
\[ P(\text{уничтожена за k выстрелов}) = 1 - P(\text{не уничтожена за k выстрелов}) \]Для \( k > 1 \):
\[ 1 - 0.7 \cdot (0.3)^{k-1} \ge 0.98 \]Решим неравенство:
\[ 0.7 \cdot (0.3)^{k-1} \le 1 - 0.98 \]\( 0.7 \cdot (0.3)^{k-1} \le 0.02 \)
\[ (0.3)^{k-1} \le \frac{0.02}{0.7} = \frac{2}{70} = \frac{1}{35} \]Возьмем логарифм по основанию 0,3 (и учтем, что знак неравенства изменится, так как основание меньше 1):
\[ k-1 \ge \log_{0.3} \left( \frac{1}{35} \right) \]Используем смену основания логарифма (например, натуральный логарифм):
\[ k-1 \ge \frac{\ln(1/35)}{\ln(0.3)} = \frac{-\ln(35)}{\ln(0.3)} \]Вычислим значения:
\[ \ln(35) \approx 3.555 \]\[ \ln(0.3) \approx -1.204 \]
\[ k-1 \ge \frac{-3.555}{-1.204} \approx 2.95 \]\( k-1 \ge 2.95 \)
\[ k \ge 3.95 \]Так как \( k \) должно быть целым числом, минимальное целое \( k \), удовлетворяющее этому условию, равно 4.
Проверим для \( k=4 \):
Вероятность не уничтожения за 3 выстрела (1-й, 2-й, 3-й): \( 0.7 \cdot (0.3)^{4-1} = 0.7 \cdot (0.3)^3 = 0.7 \cdot 0.027 = 0.0189 \).
Вероятность уничтожения за 4 выстрела: \( 1 - 0.0189 = 0.9811 \).
\( 0.9811 \ge 0.98 \), условие выполнено.
Ответ: 4
