4. Вычислить: а) √8 · √6 · √3 - 7 б) (4,6 · 10⁴) · (2,5 · 10⁻⁶) в) (5 - √3)² + 10√3 г) √(5 - 2√7)² - 2√7

Задание 4. Вычисления

а) √8 · √6 · √3 - 7

Шаг 1: Перемножим корни под одним знаком корня:

\( \sqrt{8 \cdot 6 \cdot 3} \)

\( \sqrt{144} \)

Шаг 2: Извлечем корень:

\( 12 \)

Шаг 3: Вычтем 7:

\( 12 - 7 = 5 \)

Ответ: 5

б) (4,6 · 10⁴) · (2,5 · 10⁻⁶)

Шаг 1: Перемножим числовые множители и степени отдельно:

\( (4.6 \cdot 2.5) \cdot (10^4 \cdot 10^{-6}) \)

Шаг 2: Вычислим произведение множителей:

\( 4.6 \cdot 2.5 = 11.5 \)

Шаг 3: Вычислим произведение степеней (при умножении степени складываются):

\( 10^{4 + (-6)} = 10^{-2} \)

Шаг 4: Объединим результаты:

\( 11.5 \cdot 10^{-2} \)

Шаг 5: Переведем в десятичную дробь (перенесем запятую на 2 знака влево):

\( 0.115 \)

Ответ: 0.115

в) (5 - √3)² + 10√3

Шаг 1: Раскроем квадрат разности по формуле (a - b)² = a² - 2ab + b²:

\( (5 - \sqrt{3})^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 \)

\( = 25 - 10\sqrt{3} + 3 \)

\( = 28 - 10\sqrt{3} \)

Шаг 2: Добавим 10√3:

\( (28 - 10\sqrt{3}) + 10\sqrt{3} \)

Шаг 3: Упростим выражение:

\( 28 \)

Ответ: 28

г) √(5 - 2√7)² - 2√7

Шаг 1: Упростим выражение под корнем. По свойству √(a²) = |a|:

\( \sqrt{(5 - 2\sqrt{7})^2} = |5 - 2\sqrt{7}| \)

Шаг 2: Определим знак выражения \( 5 - 2\sqrt{7} \). Сравним 5 и \( 2\sqrt{7} \). Возведем оба числа в квадрат:

\( 5^2 = 25 \)

\( (2\sqrt{7})^2 = 4 \cdot 7 = 28 \)

Так как \( 25 < 28 \), то \( 5 < 2\sqrt{7} \). Следовательно, \( 5 - 2\sqrt{7} \) — отрицательное число.

Шаг 3: Учитывая, что выражение отрицательное, раскроем модуль, изменив знак:

\( |5 - 2\sqrt{7}| = -(5 - 2\sqrt{7}) = -5 + 2\sqrt{7} \)

Шаг 4: Подставим это обратно в исходное выражение:

\( (-5 + 2\sqrt{7}) - 2\sqrt{7} \)

Шаг 5: Упростим:

\( -5 + 2\sqrt{7} - 2\sqrt{7} = -5 \)

Ответ: -5