6. Моторная лодка прошла 36 км по течению реки и вернулась обратно, потратив на весь путь 5 часов. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найдите скорость лодки в неподвижной воде.

Задание 6. Задача на движение лодки

Дано:

• Расстояние по течению: \( S_{тек} = 36 \) км.
• Расстояние против течения: \( S_{прот} = 36 \) км.
• Общее время в пути: \( T_{общ} = 5 \) часов.
• Скорость течения реки: \( v_{тек} = 3 \) км/ч.

Найти: Скорость лодки в неподвижной воде \( v_{лод} \).

Решение:

Шаг 1: Обозначим скорость лодки в неподвижной воде как \( v_{лод} \) км/ч.

Шаг 2: Найдем скорость лодки по течению:

\( v_{по теч} = v_{лод} + v_{тек} = v_{лод} + 3 \) км/ч.

Шаг 3: Найдем скорость лодки против течения:

\( v_{против теч} = v_{лод} - v_{тек} = v_{лод} - 3 \) км/ч.

Шаг 4: Выразим время движения по течению и против течения через расстояние и скорость:

Время по течению: \( T_{по теч} = \frac{S_{тек}}{v_{по теч}} = \frac{36}{v_{лод} + 3} \) часов.

Время против течения: \( T_{против теч} = \frac{S_{прот}}{v_{против теч}} = \frac{36}{v_{лод} - 3} \) часов.

Шаг 5: Составим уравнение, используя общее время в пути:

\( T_{по теч} + T_{против теч} = T_{общ} \)

\( \frac{36}{v_{лод} + 3} + \frac{36}{v_{лод} - 3} = 5 \)

Шаг 6: Решим полученное уравнение. Приведем дроби к общему знаменателю \( (v_{лод} + 3)(v_{лод} - 3) \) (или \( v_{лод}^2 - 9 \)):

\( 36(v_{лод} - 3) + 36(v_{лод} + 3) = 5(v_{лод}^2 - 9) \)

\( 36v_{лод} - 108 + 36v_{лод} + 108 = 5v_{лод}^2 - 45 \)

\( 72v_{лод} = 5v_{лод}^2 - 45 \)

Шаг 7: Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( 5v_{лод}^2 - 72v_{лод} - 45 = 0 \)

Шаг 8: Решим квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \).

Здесь \( a = 5, b = -72, c = -45 \).

\( D = (-72)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-45) \)

\( D = 5184 + 900 \)

\( D = 6084 \)

Найдем \( \sqrt{D} \):

\( \sqrt{6084} = 78 \)

Шаг 9: Найдем корни \( v_{лод} \):

\( v_{лод1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{72 + 78}{2 \cdot 5} = \frac{150}{10} = 15 \)

\( v_{лод2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{72 - 78}{2 \cdot 5} = \frac{-6}{10} = -0.6 \)

Шаг 10: Выберем подходящий корень. Скорость лодки в неподвижной воде не может быть отрицательной, поэтому \( v_{лод2} = -0.6 \) не подходит.

Остается \( v_{лод1} = 15 \) км/ч.

Ответ: 15 км/ч