№4. Вычислите: 1) (x+5)/(x²+xy) − (y−5)/(xy+y²); 2) (b+3)/(ab+b²) − (a−3)/(a²+ab); 3) (x−5)/(9−x²) + 2/(3x−x²); 4) 7/(5x−x²) + (x−12)/(25−x²); 5) y/(xy−5x²) − (15y−25x)/(y²−25x²); 6) 4x/(4xy−y²) + (y−12x)/(y²−16x²); 7) (x+1)/(x+4) + (4−x²)/(16−x²); 8) a²/(a−b)² − (a+b)/(2a−2b).

1) Разлагаем знаменатели: \(x^2+xy=x(x+y)\), \(xy+y^2=y(x+y)\). Тогда \(\frac{y(x+5)-x(y-5)}{xy(x+y)}=\frac{5(x+y)}{xy(x+y)}=\frac{5}{xy}\), при \(x\ne0\), \(y\ne0\), \(x+y\ne0\).

2) Разлагаем знаменатели: \(ab+b^2=b(a+b)\), \(a^2+ab=a(a+b)\). Тогда \(\frac{a(b+3)-b(a-3)}{ab(a+b)}=\frac{3(a+b)}{ab(a+b)}=\frac{3}{ab}\), при \(a\ne0\), \(b\ne0\), \(a+b\ne0\).

3) Общий знаменатель — \(x(3-x)(3+x)\): \(\frac{x(x-5)+2(3+x)}{x(3-x)(3+x)}=\frac{x^2-3x+6}{x(9-x^2)}\), при \(x\ne0\), \(x\ne\pm3\).

4) Общий знаменатель — \(x(5-x)(5+x)\): \(\frac{7(5+x)+x(x-12)}{x(5-x)(5+x)}=\frac{x^2-5x+35}{x(25-x^2)}\), при \(x\ne0\), \(x\ne\pm5\).

5) Общий знаменатель — \(x(y-5x)(y+5x)\): \(\frac{y(y+5x)-x(15y-25x)}{x(y-5x)(y+5x)}=\frac{(y-5x)^2}{x(y-5x)(y+5x)}=\frac{y-5x}{x(y+5x)}\), при \(x\ne0\), \(y\ne\pm5x\).

6) Учитываем, что \(y-4x=-(4x-y)\). Приводим к общему знаменателю: \(\frac{4x(y+4x)+y(12x-y)}{y(4x-y)(y+4x)}=\frac{16x^2+16xy-y^2}{y(4x-y)(y+4x)}\), при \(y\ne0\), \(y\ne\pm4x\).

7) Приводим к общему знаменателю и выносим общий множитель: \(\frac{(x+1)(16-x^2)+(4-x^2)(x+4)}{(x+4)(16-x^2)}=\frac{(x+4)(-2x^2+3x+8)}{(x+4)(16-x^2)}=\frac{-2x^2+3x+8}{16-x^2}\), при \(x\ne\pm4\).

8) Общий знаменатель — \(2(a-b)^2\): \(\frac{2a^2-(a+b)(a-b)}{2(a-b)^2}=\frac{2a^2-(a^2-b^2)}{2(a-b)^2}=\frac{a^2+b^2}{2(a-b)^2}\), при \(a\ne b\).

Ответ: 1) \(\frac{5}{xy}\); 2) \(\frac{3}{ab}\); 3) \(\frac{x^2-3x+6}{x(9-x^2)}\); 4) \(\frac{x^2-5x+35}{x(25-x^2)}\); 5) \(\frac{y-5x}{x(y+5x)}\); 6) \(\frac{16x^2+16xy-y^2}{y(4x-y)(y+4x)}\); 7) \(\frac{-2x^2+3x+8}{16-x^2}\); 8) \(\frac{a^2+b^2}{2(a-b)^2}\).