4. Вычислите: (2^54 + 3 * 2^55 - 3 * 2^53) / (4^13)^2 * 33

Решение:

Заметим, что \( 4^{13} = (2^2)^{13} = 2^{2 \cdot 13} = 2^{26} \).

Числитель:

\( 2^{54} + 3 \cdot 2^{55} - 3 \cdot 2^{53} \)

Вынесем общий множитель \( 2^{53} \):

\( = 2^{53} \cdot (2^{54-53} + 3 \cdot 2^{55-53} - 3 \cdot 2^{53-53}) \)

\( = 2^{53} \cdot (2^1 + 3 \cdot 2^2 - 3 \cdot 2^0) \)

\( = 2^{53} \cdot (2 + 3 \cdot 4 - 3 \cdot 1) \)

\( = 2^{53} \cdot (2 + 12 - 3) \)

\( = 2^{53} \cdot (14 - 3) \)

\( = 2^{53} \cdot 11 \)

Знаменатель:

\( (4^{13})^2 \cdot 33 = (2^{26})^2 \cdot 33 = 2^{26 \cdot 2} \cdot 33 = 2^{52} \cdot 33 \)

Теперь подставим полученные числитель и знаменатель в дробь:

\( \frac{2^{53} \cdot 11}{2^{52} \cdot 33} \)

Сократим степени двойки и число 11:

\( = \frac{2^{53-52} \cdot 11}{2^{52-52} \cdot 33} \)

\( = \frac{2^1 \cdot 11}{1 \cdot 33} \)

\( = \frac{2 \cdot 11}{33} \)

\( = \frac{22}{33} \)

Сократим дробь на 11:

\( = \frac{2}{3} \)

Ответ: 2/3.