4. Вычислите: (3 * 2^20 - 7 * 2^19) / (-1)^7 * (13 * 8^4)^2.

Задание 4. Вычисление выражения

Нужно вычислить значение выражения:

\[ \frac{3 · 2^{20} - 7 · 2^{19}}{(-1)^7 · (13 · 8^4)^2} \]

Давай разберёмся по частям.

Числитель:

\( 3 · 2^{20} - 7 · 2^{19} \)

Можно вынести общий множитель \( 2^{19} \):

\[ 2^{19} (3 · 2^1 - 7) = 2^{19} (6 - 7) = 2^{19} (-1) = -2^{19} \]

Знаменатель:

\[ (-1)^7 · (13 · 8^4)^2 \]

Сначала вычислим \( (-1)^7 \). Любая нечётная степень \( -1 \) равна \( -1 \).

\[ (-1)^7 = -1 \]

Теперь вычислим \( 8^4 \). Так как \( 8 = 2^3 \), то \( 8^4 = (2^3)^4 = 2^{12} \).

Теперь подставим это в знаменатель:

\[ -1 · (13 · 2^{12})^2 = -1 · (13^2 · (2^{12})^2) = -1 · (169 · 2^{24}) = -169 · 2^{24} \]

Теперь соединим числитель и знаменатель:

\[ \frac{-2^{19}}{-169 · 2^{24}} \]

Минусы в числителе и знаменателе сокращаются:

\[ \frac{2^{19}}{169 · 2^{24}} \]

Сократим степени \( 2 \): \( \frac{2^{19}}{2^{24}} = 2^{19-24} = 2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32} \).

Теперь выражение выглядит так:

\[ \frac{1}{169 · 32} \]

Вычислим \( 169 · 32 \):

\[ 169 · 32 = 169 · (30 + 2) = 169 · 30 + 169 · 2 \]

\[ 169 · 30 = 5070 \]

\[ 169 · 2 = 338 \]

\[ 5070 + 338 = 5408 \]

Итак, окончательный ответ:

\[ \frac{1}{5408} \]

Ответ: \( \frac{1}{5408} \).