5. Решите уравнение: (3x - 1)^2 - 8(x + 1)^2 = (2 + x)(x - 2).

Задание 5. Решение уравнения

Нужно решить уравнение:

\[ (3x - 1)^2 - 8(x + 1)^2 = (2 + x)(x - 2) \]

Давай раскроем скобки по порядку.

Левая часть:

Раскроем \( (3x - 1)^2 \) по формуле квадрата разности \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \):

\[ (3x - 1)^2 = (3x)^2 - 2(3x)(1) + 1^2 = 9x^2 - 6x + 1 \]

Раскроем \( (x + 1)^2 \) по формуле квадрата суммы \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \):

\[ (x + 1)^2 = x^2 + 2(x)(1) + 1^2 = x^2 + 2x + 1 \]

Теперь подставим это обратно в левую часть, не забывая про умножение на \( -8 \):

\[ (9x^2 - 6x + 1) - 8(x^2 + 2x + 1) \]

\[ 9x^2 - 6x + 1 - 8x^2 - 16x - 8 \]

Сгруппируем подобные члены:

\[ (9x^2 - 8x^2) + (-6x - 16x) + (1 - 8) \]

\[ x^2 - 22x - 7 \]

Правая часть:

Раскроем \( (2 + x)(x - 2) \). Это разность квадратов \( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \), только в первом множителе \( 2+x \) и во втором \( x-2 \). Можем переписать как \( (x+2)(x-2) \), чтобы применить формулу.

\[ (x + 2)(x - 2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4 \]

Теперь приравняем левую и правую части:

\[ x^2 - 22x - 7 = x^2 - 4 \]

Вычтем \( x^2 \) из обеих частей:

\[ -22x - 7 = -4 \]

Прибавим 7 к обеим частям:

\[ -22x = -4 + 7 \]

\[ -22x = 3 \]

Разделим на \( -22 \):

\[ x = \frac{3}{-22} = -\frac{3}{22} \]

Ответ: \( x = -\frac{3}{22} \).