4. Вычислите: а) 7⁹ ⋅ 7¹¹ 7¹⁸ ; б) (3⁴)² ⋅ 2¹¹ 4 ⋅ 36⁴ .

Задание 4. Вычисление выражений

Часть а)

Дано: Выражение \( \frac{7^9 \cdot 7^{11}}{7^{18}} \).

Найти: Значение выражения.

Решение:

1. Воспользуемся свойством степеней \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) для числителя:

\( 7^9 \cdot 7^{11} = 7^{9+11} = 7^{20} \)

1. Теперь выражение выглядит так:

\( \frac{7^{20}}{7^{18}} \)

1. Воспользуемся свойством степеней \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):

\( \frac{7^{20}}{7^{18}} = 7^{20-18} = 7^2 \)

1. Вычислим результат:

\( 7^2 = 49 \)

Ответ: 49.

Часть б)

Дано: Выражение \( \frac{(3^4)^2 \cdot 2^{11}}{4 \cdot 36^4} \).

Найти: Значение выражения.

Решение:

1. Упростим числитель, используя свойство \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \):

\( (3^4)^2 = 3^{4 \cdot 2} = 3^8 \)

\( 4 \cdot 36^4 = 2^2 \cdot (2^2 \cdot 3^2)^4 = 2^2 \cdot (2^2)^4 \cdot (3^2)^4 = 2^2 \cdot 2^{2 \cdot 4} \cdot 3^{2 \cdot 4} = 2^2 \cdot 2^8 \cdot 3^8 \)

\( 2^2 \cdot 2^8 = 2^{2+8} = 2^{10} \)

\( \frac{3^8 \cdot 2^{11}}{2^{10} \cdot 3^8} \)

1. Сократим \( 3^8 \) в числителе и знаменателе:

\( \frac{2^{11}}{2^{10}} \)

1. Воспользуемся свойством \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):

\( 2^{11-10} = 2^1 = 2 \)

Ответ: 2.