4. Вычислите: а) ∫ от 2 до 5 3x dx; б) ∫ от −3 до 2 x² dx; в) ∫ от 0 до 4 (2x² − 1) dx; г) ∫ от −3 до −1 dx/x²; д) ∫ от 1 до 9 dx/√x; е)* ∫ от 0 до π/2 sin 2x dx.

1. а) По формуле Ньютона—Лейбница: \(\int_2^5 3x\,dx=\left[\frac{3x^2}{2}\right]_2^5=\frac32(25-4)=\frac{63}{2}\).
2. б) \(\int_{-3}^2x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-3}^2=\frac{8-(-27)}{3}=\frac{35}{3}\).
3. в) \(\int_0^4(2x^2-1)\,dx=\left[\frac{2x^3}{3}-x\right]_0^4=\frac{128}{3}-4=\frac{116}{3}\).
4. г) Первообразная для \(x^{-2}\) — \(-x^{-1}\): \(\int_{-3}^{-1}\frac{dx}{x^2}=\left[-\frac1x\right]_{-3}^{-1}=1-\frac13=\frac23\).
5. д) \(\int_1^9\frac{dx}{\sqrt{x}}=\left[2\sqrt{x}\right]_1^9=6-2=4\).
6. е)* \(\int_0^{\pi/2}\sin2x\,dx=\left[-\frac12\cos2x\right]_0^{\pi/2}=\frac12-\left(-\frac12\right)=1\).

Ответ: а) \(\frac{63}{2}\); б) \(\frac{35}{3}\); в) \(\frac{116}{3}\); г) \(\frac23\); д) 4; е)* 1.