4. Вычислите длины отрезков AK и AB₁, если AD=a.

В кубе все рёбра равны: AB=AD=AA₁=a.

Отрезок AB₁ — диагональ грани ABB₁A₁. По теореме Пифагора:

\[AB_1=\sqrt{AB^2+BB_1^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}.\]

Для вычисления AK необходимо знать положение точки K на ребре DD₁. Если обозначить \(DK=x\), то в прямоугольном треугольнике ADK:

\[AK=\sqrt{AD^2+DK^2}=\sqrt{a^2+x^2}.\]

Поскольку в условии не указано, что K является, например, серединой DD₁, единственное числовое значение AK определить нельзя.

Ответ: \(AB_1=a\sqrt{2}\); \(AK=\sqrt{a^2+DK^2}\). Для нахождения конкретного значения AK нужно дополнительно знать длину DK или положение точки K.