4. Вычислите площадь заштрихованной фигуры (рис. 1), если АО = 6 см, ∠AOB = 135°.

Краткая запись:

• Радиус (AO = OB): 6 см
• Центральный угол (∠AOB): 135°
• Найти: Площадь заштрихованной фигуры — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Вычисляем площадь всего круга.
   \( S_{круга} = π · r^2 = π · (6 ext{ см})^2 = 36π ext{ см}^2 \).
2. Шаг 2: Вычисляем площадь сектора, соответствующего углу 135°.
   \( S_{сектора} = S_{круга} · rac{135^°}{360^°} = 36π ext{ см}^2 · rac{135}{360} = 36π ext{ см}^2 · rac{3}{8} = rac{108π}{8} = rac{27π}{2} ext{ см}^2 \).
3. Шаг 3: Вычисляем площадь треугольника AOB. Используем формулу \( S_{Δ} = rac{1}{2}ab ext{sin}(γ) \).
   \( S_{Δ AOB} = rac{1}{2} · AO · OB · ext{sin}(135^°) \).
   \( ext{sin}(135^°) = ext{sin}(180^° - 45^°) = ext{sin}(45^°) = rac{·2}{2} \).
   \( S_{Δ AOB} = rac{1}{2} · 6 ext{ см} · 6 ext{ см} · rac{·2}{2} = 18 · rac{·2}{2} = 9·2 ext{ см}^2 \).
4. Шаг 4: Вычисляем площадь заштрихованной фигуры, вычитая площадь треугольника из площади сектора.
   \( S_{заштрихованная} = S_{сектора} - S_{Δ AOB} = rac{27π}{2} ext{ см}^2 - 9·2 ext{ см}^2 \).

Ответ: (rac{27π}{2} - 9·2) см²