№4. Выполнить действия. Вариант 1: а) \((a^{\frac23}-3b^{-1})(a^{\frac23}+3b^{-1})\); б) \(\frac{a-b}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}-\frac{a+b}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}\). Вариант 2: а) \((2a^{\frac12}+b^{-\frac14})(2a^{\frac12}-b^{-\frac14})\); б) \(\frac{a-b}{\sqrt a-\sqrt b}-\frac{a^{\frac32}+b^{\frac32}}{a-b}\).

Вариант 1

1. а) Применяем формулу разности квадратов: \((a^{2/3})^2-(3b^{-1})^2=a^{4/3}-9b^{-2}\).
2. б) Обозначим \(x=\sqrt[3]{a}\), \(y=\sqrt[3]{b}\). Тогда \(a-b=x^3-y^3\) и \(a+b=x^3+y^3\). По формулам сокращённого умножения получаем \(\frac{x^3-y^3}{x-y}-\frac{x^3+y^3}{x+y}=(x^2+xy+y^2)-(x^2-xy+y^2)=2xy=2\sqrt[3]{ab}\).

Вариант 2

1. а) Применяем формулу разности квадратов: \((2a^{1/2})^2-(b^{-1/4})^2=4a-b^{-1/2}=4a-\frac1{\sqrt b}\).
2. б) \(\frac{a-b}{\sqrt a-\sqrt b}=\sqrt a+\sqrt b\), если знаменатель не равен нулю. Поэтому выражение равно \(\sqrt a+\sqrt b-\frac{a^{3/2}+b^{3/2}}{a-b}\).