4. Выполните действия: 10v/(25v²+60vn+36n²) + 12n/(25v²−60vn+36n²)

Разложим знаменатели на квадраты:

\(25v^2+60vn+36n^2=(5v+6n)^2\), \(25v^2-60vn+36n^2=(5v-6n)^2\).

Приведём дроби к общему знаменателю:

\(\dfrac{10v}{(5v+6n)^2}+\dfrac{12n}{(5v-6n)^2}=\dfrac{10v(5v-6n)^2+12n(5v+6n)^2}{(5v+6n)^2(5v-6n)^2}\).

Раскроем скобки:

\(10v(5v-6n)^2+12n(5v+6n)^2=250v^3-300v^2n+1080vn^2+432n^3\).

Так как \((5v+6n)^2(5v-6n)^2=(25v^2-36n^2)^2\), получаем:

Ответ: \(\dfrac{250v^3-300v^2n+1080vn^2+432n^3}{(25v^2-36n^2)^2}\), при \(5v\ne6n\) и \(5v\ne-6n\).