4. Выполните действия a) $$\frac{2}{5x} + \frac{5}{9x}$$; б) $$\frac{1}{x-4} - \frac{1}{x+4}$$; в) $$13a^2 \cdot \frac{5b}{26a^3}$$; г) $$\frac{15x^2y}{7a^3} \cdot \frac{18y}{35a^2b}$$.

Давай посчитаем эти примеры по порядку!

1. а) Сложение дробей $$\frac{2}{5x} + \frac{5}{9x}$$
   • Чтобы сложить дроби, нам нужен общий знаменатель. В данном случае это $$45x$$ (наименьшее общее кратное для $$5x$$ и $$9x$$).
   • Приведем дроби к общему знаменателю:
   • $$\frac{2}{5x} = \frac{2 \cdot 9}{5x \cdot 9} = \frac{18}{45x}$$
   • $$\frac{5}{9x} = \frac{5 \cdot 5}{9x \cdot 5} = \frac{25}{45x}$$
   • Теперь сложим: $$\frac{18}{45x} + \frac{25}{45x} = \frac{18+25}{45x} = \frac{43}{45x}$$
2. б) Вычитание дробей $$\frac{1}{x-4} - \frac{1}{x+4}$$
   • Общий знаменатель здесь — произведение $$(x-4)(x+4)$$.
   • Приведем дроби к общему знаменателю:
   • $$\frac{1}{x-4} = \frac{1 \cdot (x+4)}{(x-4)(x+4)} = \frac{x+4}{(x-4)(x+4)}$$
   • $$\frac{1}{x+4} = \frac{1 \cdot (x-4)}{(x+4)(x-4)} = \frac{x-4}{(x-4)(x+4)}$$
   • Теперь вычтем: $$\frac{x+4}{(x-4)(x+4)} - \frac{x-4}{(x-4)(x+4)} = \frac{(x+4) - (x-4)}{(x-4)(x+4)}$$
   • Раскроем скобки в числителе: $$\frac{x+4-x+4}{(x-4)(x+4)} = \frac{8}{(x-4)(x+4)}$$
   • Знаменатель можно также записать как $$x^2 - 16$$.
3. в) Умножение выражений $$13a^2 \cdot \frac{5b}{26a^3}$$
   • Перепишем $$13a^2$$ как дробь: $$\frac{13a^2}{1}$$
   • Теперь умножим: $$\frac{13a^2}{1} \cdot \frac{5b}{26a^3}$$
   • Перемножим числители и знаменатели: $$\frac{13a^2 \cdot 5b}{1 \cdot 26a^3} = \frac{65a^2b}{26a^3}$$
   • Сократим дробь:
   • Числа 65 и 26 делятся на 13 ($$65:13=5$$, $$26:13=2$$).
   • Степени a: $$a^2$$ в числителе и $$a^3$$ в знаменателе сокращаются до $$a$$ в знаменателе ($$a^3/a^2=a$$).
   • Получаем: $$\frac{5b}{2a}$$
4. г) Умножение дробей $$\frac{15x^2y}{7a^3} \cdot \frac{18y}{35a^2b}$$
   • Перемножим числители и знаменатели: $$\frac{15x^2y \cdot 18y}{7a^3 \cdot 35a^2b}$$
   • Упростим числитель: $$15 \cdot 18 = 270$$, $$y \cdot y = y^2$$. Получаем $$270x^2y^2$$.
   • Упростим знаменатель: $$7 \cdot 35 = 245$$, $$a^3 \cdot a^2 = a^5$$. Получаем $$245a^5b$$.
   • Дробь стала: $$\frac{270x^2y^2}{245a^5b}$$
   • Теперь сократим дробь. Оба числа (270 и 245) делятся на 5.
   • $$270 : 5 = 54$$
   • $$245 : 5 = 49$$
   • Получаем: $$\frac{54x^2y^2}{49a^5b}$$

Ответ: а) $$\frac{43}{45x}$$; б) $$\frac{8}{(x-4)(x+4)}$$ или $$\frac{8}{x^2-16}$$; в) $$\frac{5b}{2a}$$; г) $$\frac{54x^2y^2}{49a^5b}$$