4. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 6 см и образует с боковой гранью угол 30°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида.

Высота \( H = 6 \) см.

Угол между высотой и боковой гранью \( \alpha = 30^{\circ} \).

Найти:

Площадь боковой поверхности \( S_{бок} \).

Решение:

1. Найдём апофему пирамиды:

В правильной четырехугольной пирамиде высота, апофема (высота боковой грани) и отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, образуют прямоугольный треугольник. Угол между высотой и боковой гранью — это угол между высотой пирамиды и апофемой. Таким образом, мы имеем прямоугольный треугольник, где катет — это высота пирамиды \( H \), а гипотенуза — апофема \( l \). Угол между ними равен \( 30^{\circ} \).

По определению косинуса:

\[ \cos(\alpha) = \frac{H}{l} \]

Отсюда:

\[ l = \frac{H}{\cos(\alpha)} = \frac{6}{\cos(30^{\circ})} = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \text{ см.} \]

2. Найдём сторону основания пирамиды:

В том же прямоугольном треугольнике, образованном высотой, апофемой и отрезком, соединяющим вершину пирамиды с центром основания, рассмотрим угол между высотой и стороной основания. Этот угол равен \( 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \). Отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, равен половине стороны основания, обозначим его \( r \).

По определению тангенса:

\[ \tan(\alpha) = \frac{r}{H} \]

Отсюда:

\[ r = H \cdot \tan(\alpha) = 6 \cdot \tan(30^{\circ}) = 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \text{ см.} \]

Так как \( r \) — это половина стороны основания \( a \), то:

\[ a = 2r = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \text{ см.} \]

3. Найдём площадь боковой поверхности:

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется по формуле:

\[ S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot l \]

где \( P \) — периметр основания, \( l \) — апофема.

Периметр основания правильной четырехугольной пирамиды:

\[ P = 4a = 4 \cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3} \text{ см.} \]

Теперь найдём площадь боковой поверхности:

\[ S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 16\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} = 32 \cdot 3 = 96 \text{ см}^2 \]

Ответ: 96 см².