4) Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, равно 9 см, а само основание равно 24 см. Найти радиусы вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей.

Высота равнобедренного треугольника делит основание пополам:

\[\frac{24}{2}=12\text{ см}.\]

Найдём боковую сторону по теореме Пифагора:

\[a=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=15\text{ см}.\]

Площадь треугольника:

\[S=\frac12\cdot24\cdot9=108\text{ см}^2.\]

Полупериметр:

\[p=\frac{15+15+24}{2}=27\text{ см}.\]

Радиус вписанной окружности:

\[r=\frac{S}{p}=\frac{108}{27}=4\text{ см}.\]

Радиус описанной окружности:

\[R=\frac{abc}{4S}=\frac{15\cdot15\cdot24}{4\cdot108}=\frac{25}{2}=12.5\text{ см}.\]

Ответ: радиус вписанной окружности — 4 см; радиус описанной окружности — 12,5 см.