4. ∛(x − 3) + ∛(2x + 1) = 3

Обозначим \(u=\sqrt[3]{x-3}\). Тогда \(x=u^3+3\), а из уравнения \(\sqrt[3]{2x+1}=3-u\).

Возводим последнее равенство в куб и подставляем \(x=u^3+3\): \((3-u)^3=2u^3+7\). После раскрытия скобок получаем \(3u^3-9u^2+27u-20=0\).

Положим \(u=y+1\). Тогда \(y^3+6y+\frac13=0\). Единственный действительный корень: \(y=\sqrt[3]{\frac83}-\sqrt[3]{3}\). Значит, \(u=1+\sqrt[3]{\frac83}-\sqrt[3]{3}\), и \(x=u^3+3\).

Итак, \(x=3+\left(1+\sqrt[3]{\frac83}-\sqrt[3]{3}\right)^3\approx3.8425\). Решение единственно: функция \(3u^3-9u^2+27u-20\) строго возрастает, поскольку её производная \(9((u-1)^2+2)\) положительна.

Ответ: \(x=3+\left(1+\sqrt[3]{\frac83}-\sqrt[3]{3}\right)^3\approx3.8425\).