4. y = 1 + 3/sin 2x, 5. y = 1/(cos x)² - 1/(sin x)²

Решение:

Задание состоит из двух независимых функций. Решим каждую, используя правила дифференцирования.

1. \( y = 1 + \frac{3}{\sin^2 x} \)
   \( y = 1 + 3(\textrm{sin}x)^{-2} \)
   \( y' = \frac{d}{dx}(1) + 3 \frac{d}{dx}((\textrm{sin}x)^{-2}) \)
   \( y' = 0 + 3 \cdot (-2)(\textrm{sin}x)^{-3} \cdot \frac{d}{dx}(\textrm{sin}x) \)
   \( y' = -6(\textrm{sin}x)^{-3} \cdot \textrm{cos}x \)
   \( y' = -\frac{6\textrm{cos}x}{\textrm{sin}^3x} \)
2. \( y = \frac{1}{(\textrm{cos}x)^2} - \frac{1}{(\textrm{sin}x)^2} \)
   \( y = (\textrm{cos}x)^{-2} - (\textrm{sin}x)^{-2} \)
   \( y' = \frac{d}{dx}((\textrm{cos}x)^{-2}) - \frac{d}{dx}((\textrm{sin}x)^{-2}) \)
   \( y' = -2(\textrm{cos}x)^{-3} \cdot \frac{d}{dx}(\textrm{cos}x) - (-2)(\textrm{sin}x)^{-3} \cdot \frac{d}{dx}(\textrm{sin}x) \)
   \( y' = -2(\textrm{cos}x)^{-3} \cdot (-\textrm{sin}x) + 2(\textrm{sin}x)^{-3} \cdot \textrm{cos}x \)
   \( y' = \frac{2\textrm{sin}x}{\textrm{cos}^3x} + \frac{2\textrm{cos}x}{\textrm{sin}^3x} \)
   \( y' = 2\textrm{tg}x \textrm{sec}^2x + 2\textrm{ctg}x \textrm{csc}^2x \)

Ответ: 1. \( y' = -\frac{6\textrm{cos}x}{\textrm{sin}^3x} \); 2. \( y' = \frac{2\textrm{sin}x}{\textrm{cos}^3x} + \frac{2\textrm{cos}x}{\textrm{sin}^3x} \).