4. Задача. В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АС внешний угол при вершине А равен 120°. АВ = 5 см. Найдите длину гипотенузы треугольника.

4. Гипотенуза прямоугольного треугольника

Дано:

• Треугольник ABC — прямоугольный (∠B = 90°).
• Гипотенуза — AC.
• Внешний угол при вершине A = 120°.
• Катет AB = 5 см.

Найти: Гипотенузу AC.

Решение:

1. Найдем внутренний угол при вершине A:
• Внешний угол и смежный с ним внутренний угол в сумме дают 180°.
• ∠A (внутренний) = 180° - 120° = 60°.
2. Найдем гипотенузу, используя свойство прямоугольного треугольника:
• В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы.
• Однако, в данном случае у нас угол 60°, а катет AB прилегает к этому углу.
• Используем определение косинуса: cos(A) = AB / AC
• cos(60°) = 5 см / AC
• Мы знаем, что cos(60°) = 1/2.
• 1/2 = 5 / AC
• AC = 5 * 2
• AC = 10 см.

Ответ: Длина гипотенузы треугольника равна 10 см.