4*. (Задание на доп. оценку) Найдите ОДЗ и решите уравнение \(\dfrac{(x-1)^2\bigl(\bigl||x|-4\bigr|-1\bigr)}{1-\dfrac{2}{4-\dfrac{4}{|x|-2}}}=0\).

ОДЗ: сначала требуется \(|x|-2\ne0\), то есть \(x\ne\pm2\). Следующий знаменатель не должен быть нулём: \(4-\dfrac{4}{|x|-2}\ne0\), откуда \(|x|\ne3\), то есть \(x\ne\pm3\). Наконец, знаменатель всей дроби не должен равняться нулю. Условие \(1-\dfrac{2}{4-\frac{4}{|x|-2}}=0\) даёт \(4-\dfrac{4}{|x|-2}=2\), откуда \(|x|=4\). Поэтому также \(x\ne\pm4\).

Для равенства дроби нулю при допустимом \(x\) приравниваем числитель к нулю:

1. \((x-1)^2=0\), поэтому \(x=1\). Это значение входит в ОДЗ.
2. \(\bigl||x|-4\bigr|-1=0\), значит \(\bigl||x|-4\bigr|=1\). Тогда \(|x|-4=1\) или \(|x|-4=-1\), откуда \(|x|=5\) или \(|x|=3\). Значения \(x=\pm3\) исключены из ОДЗ, а \(x=\pm5\) допустимы.

Ответ: \(x=-5,\ 1,\ 5\).