4*. (Задание на дополнительную оценку.) Найдите ОДЗ и решите уравнение, отобрав недопустимые значения переменной: \(\dfrac{(x-1)^2\bigl(\left||x|-4\right|-1\bigr)}{1-\dfrac{2}{4-\dfrac{4}{|x|-2}}}=0\).

ОДЗ. Внутренние знаменатели должны быть ненулевыми: \(|x|-2\ne0\), то есть \(|x|\ne2\). Также \(4-\dfrac{4}{|x|-2}\ne0\), откуда \(|x|-2\ne1\), то есть \(|x|\ne3\). Наконец, знаменатель всей дроби не должен равняться нулю: \(1-\dfrac{2}{4-\frac{4}{|x|-2}}\ne0\). Это выражение равно нулю при \(|x|=4\), поэтому \(|x|\ne4\).

Числитель должен быть равен нулю.

1. \((x-1)^2=0\), откуда \(x=1\). Это значение входит в ОДЗ.
2. \(\left||x|-4\right|-1=0\). Тогда \(\left||x|-4\right|=1\), откуда \(|x|=5\) или \(|x|=3\). Значения с \(|x|=3\) исключены ОДЗ; из \(|x|=5\) получаем \(x=\pm5\), оба значения допустимы.

Ответ: ОДЗ: \(|x|\ne2,3,4\); корни: \(x=-5,1,5\).