4. Задания на повторение. 1) Вычислить: а) $\sqrt{\sqrt[3]{2^6}\cdot6^{12}}$; б) $\frac{\sqrt[4]{48}\cdot\sqrt{245}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt[4]{3}}$; в) $\frac{\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{4}}{\sqrt[4]{81}}$; г) $\sqrt[3]{3\frac{3}{8}}$. 2) Упростить выражение: $\sqrt a\cdot\sqrt[3]{a^2}\cdot\sqrt[4]{a^3}$. 3) Сравнить числа: а) $\sqrt[3]{4}$ и $\sqrt[4]{3}$; б) $\sqrt[3]{-0,5}$ и $\sqrt[5]{-0,3}$. 4) Решить уравнение: $\sqrt{3x-2}=5x-8$. 5) Найти решения неравенства: $\sqrt{24-5x}\ge x$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4. Задания на повторение. 1) Вычислить: а) $\sqrt{\sqrt[3]{2^6}\cdot6^{12}}$; б)…$ Фото задания

4. Задания на повторение. 1) Вычислить: а) $\sqrt{\sqrt[3]{2^6}\cdot6^{12}}$; б) $\frac{\sqrt[4]{48}\cdot\sqrt{245}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt[4]{3}}$; в) $\frac{\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{4}}{\sqrt[4]{81}}$; г) $\sqrt[3]{3\frac{3}{8}}$. 2) Упростить выражение: $\sqrt a\cdot\sqrt[3]{a^2}\cdot\sqrt[4]{a^3}$. 3) Сравнить числа: а) $\sqrt[3]{4}$ и $\sqrt[4]{3}$; б) $\sqrt[3]{-0,5}$ и $\sqrt[5]{-0,3}$. 4) Решить уравнение: $\sqrt{3x-2}=5x-8$. 5) Найти решения неравенства: $\sqrt{24-5x}\ge x$.

Accepted Answer

1) Вычислить.

а) $\sqrt[3]{2^6}=4$, поэтому $\sqrt{4\cdot6^{12}}=2\cdot6^6=93312$.
б) $\frac{\sqrt[4]{48}\cdot\sqrt{245}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt[4]{3}}=\sqrt[4]{\frac{48}{3}}\cdot\sqrt{\frac{245}{5}}=\sqrt[4]{16}\cdot7=14$.
в) $\frac{\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{4}}{\sqrt[4]{81}}=\frac{\sqrt[3]{8}}{3}=\frac{2}{3}$.
г) $3\frac{3}{8}=\frac{27}{8}$, поэтому $\sqrt[3]{\frac{27}{8}}=\frac{3}{2}$.

2) Упростить. Для действительных значений выражения требуется $a\ge0$. Представим корни степенями и сложим показатели: $\sqrt a\cdot\sqrt[3]{a^2}\cdot\sqrt[4]{a^3}=a^{\frac12+\frac23+\frac34}=a^{\frac{23}{12}}$.

3) Сравнить.

а) Числа положительны. Возведём их в 12-ю степень: $(\sqrt[3]{4})^{12}=4^4=256$, а $(\sqrt[4]{3})^{12}=3^3=27$. Значит, $\sqrt[3]{4}>\sqrt[4]{3}$.
б) Приближённо $\sqrt[3]{-0,5}\approx-0,794$, а $\sqrt[5]{-0,3}\approx-0,786$. Следовательно, $\sqrt[3]{-0,5}<\sqrt[5]{-0,3}$.

4) Решить уравнение. Область допустимых значений с учётом неотрицательности правой части: $x\ge\frac{8}{5}$. Возводим в квадрат: $3x-2=(5x-8)^2$, откуда $25x^2-83x+66=0$. Корни: $x=2$ и $x=\frac{33}{25}$. Второй корень не входит в ОДЗ; проверка $x=2$: $\sqrt{6-2}=2=10-8$.

Ответ: $x=2$.

5) Решить неравенство. Область определения: $24-5x\ge0$, то есть $x\le\frac{24}{5}$. При $x\le0$ неравенство выполняется, поскольку левая часть неотрицательна. При $x>0$ можно возвести обе части в квадрат: $24-5x\ge x^2$, то есть $(x+8)(x-3)\le0$. С учётом $x>0$ получаем \(0

Ответ: $x\in(-\infty;3]$.