№4. Закон прямолинейного движения тела задан уравнением \( S(t) = \frac{1}{3} t^3 + \frac{1}{2} t^2 - 4 \). Найдите скорость и ускорение в момент времени \( t=5c \), если \( S \) — путь (м), \( t \) — время (с).

Решение:

Скорость \( v(t) \) — это первая производная от пути \( S(t) \) по времени. Ускорение \( a(t) \) — это первая производная от скорости \( v(t) \) (или вторая производная от пути \( S(t) \)) по времени.

1. Найдём скорость:
• \( v(t) = S'(t) = \frac{d}{dt}(\frac{1}{3} t^3 + \frac{1}{2} t^2 - 4) = \frac{1}{3} \cdot 3t^2 + \frac{1}{2} \cdot 2t - 0 = t^2 + t \)
• Скорость в момент времени \( t=5c \): \( v(5) = 5^2 + 5 = 25 + 5 = 30 \) м/с.
2. Найдём ускорение:
• \( a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt}(t^2 + t) = 2t + 1 \)
• Ускорение в момент времени \( t=5c \): \( a(5) = 2 \cdot 5 + 1 = 10 + 1 = 11 \) м/с².

Ответ: скорость 30 м/с, ускорение 11 м/с².