№4. Закон прямолинейного движения тела задан уравнением S(t) = \( \frac{1}{4}t^4 + \frac{1}{3}t^3 - 5 \). Найдите скорость и ускорение в момент времени t=2с, если S — путь (м), t — время (с).

Решение:

Скорость \( v(t) \) — это первая производная пути по времени:

\( v(t) = S'(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{4}t^4 + \frac{1}{3}t^3 - 5 \right) \).

\( v(t) = \frac{1}{4} \cdot 4t^3 + \frac{1}{3} \cdot 3t^2 - 0 = t^3 + t^2 \).

Ускорение \( a(t) \) — это первая производная скорости по времени (или вторая производная пути по времени):

\( a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt} (t^3 + t^2) \).

\( a(t) = 3t^2 + 2t \).

Теперь найдём значения скорости и ускорения в момент времени \( t = 2 \) с:

\( v(2) = 2^3 + 2^2 = 8 + 4 = 12 \) м/с.

\( a(2) = 3 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 = 3 \cdot 4 + 4 = 12 + 4 = 16 \) м/с².

Ответ: скорость 12 м/с, ускорение 16 м/с².