№7. Решите неравенство: (0,3)ˣ⁻¹ ≤ (0,09)²ˣ⁻³

Решение:

Для решения неравенства \( (0,3)^{x-1} \le (0,09)^{2x-3} \) приведём обе части к одному основанию. Заметим, что \( 0,09 = (0,3)^2 \).

Подставим это в неравенство:

\( (0,3)^{x-1} \le ((0,3)^2)^{2x-3} \).

Используем свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \):

\( (0,3)^{x-1} \le (0,3)^{2(2x-3)} \).

\( (0,3)^{x-1} \le (0,3)^{4x-6} \).

Поскольку основание степени \( 0,3 \) меньше 1, при снятии степеней знак неравенства меняется на противоположный:

\( x - 1 \ge 4x - 6 \).

Решим полученное линейное неравенство:

\( -1 + 6 \ge 4x - x \).

\( 5 \ge 3x \).

\( \frac{5}{3} \ge x \).

или \( x \le \frac{5}{3} \).

Ответ: \( x \le \frac{5}{3} \).