Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Пусть числитель дроби равен \(x\), тогда знаменатель равен \(x+4\). Новая дробь после увеличения числителя и знаменателя — \(\frac{x+2}{x+25}\). По условию она на \(\frac{1}{4}\) меньше исходной:
\[\frac{x-4}{x+4}-\frac{x+2}{x+25}=\frac{1}{4}.\]
Приведём разность к общему знаменателю:
\[\frac{(x-4)(x+25)-(x+2)(x+4)}{(x+4)(x+25)}=\frac{13x-108}{(x+4)(x+25)}.\]
Решим уравнение:
\[4(13x-108)=(x+4)(x+25),\]
\[52x-432=x^2+29x+100,\qquad x^2-23x+532=0.\]
Исправим раскрытие скобок: \((x-4)(x+25)=x^2+21x-100\), а \((x+2)(x+4)=x^2+6x+8\); их разность равна \(15x-108\). Поэтому верное уравнение:
\[4(15x-108)=(x+4)(x+25),\]
\[60x-432=x^2+29x+100,\qquad x^2-31x+532=0.\]
Для исходного условия удобнее записать уравнение непосредственно: \(\frac{x+2}{x+25}=\frac{x}{x+4}-\frac14\). Умножая на \(4(x+4)(x+25)\), получаем \(4(x+2)(x+4)=4x(x+25)-(x+4)(x+25)\), то есть \(x^2-55x+336=0\). Следовательно, \((x-7)(x-48)=0\), откуда \(x=7\) или \(x=48\).
Если \(x=7\), исходная дробь \(\frac{7}{11}\) несократима. Если \(x=48\), дробь \(\frac{48}{52}\) сокращается, что противоречит условию о несократимости.
Проверка для \(\frac{7}{11}\): после изменения получаем \(\frac{9}{32}\), а \(\frac{7}{11}-\frac{9}{32}=\frac{224-99}{352}=\frac{125}{352}\) — это не \(\frac14\). Следовательно, проверим преобразование уравнения: \(\frac{7}{11}-\frac14=\frac{17}{44}\), тогда как новая дробь должна быть \(\frac{9}{32}\); значения не равны. Таким образом, исходная дробь не удовлетворяет условию, а извлечение корней из ошибочного уравнения недопустимо. Правильное уравнение после умножения: \(4(x+2)(x+4)=4x(x+25)-(x+4)(x+25)\), откуда \(4x^2+24x+32=3x^2+71x-100\), то есть \(x^2-47x+132=0\). Его корни \(x=3\) и \(x=44\); при \(x=3\) дробь \(3/7\) несократима, а при \(x=44\) дробь \(44/48\) сократима. Проверка: \(3/7-1/4=5/28\), что не равно \(5/28\)? Новая дробь равна \(5/28\), поэтому условие выполнено.
Ответ: \(\frac{3}{7}\).
