№ 40.11. а) √625 · √[?]{5^{14x−9}} = √[6]{125 · 5^{6x−12}}; б) ∛0,2 · √(0,2^{2x−1/3}) = ∛(0,04^{−3x+6})

а)

Представим все числа как степени числа 5:

\(\sqrt{625}=5^2\), \(125=5^3\).

При чтении первого корня как квадратного получаем:

\(5^2\cdot 5^{\frac{14x-9}{2}}=5^{\frac{3+6x-12}{6}}\).

Приравниваем показатели:

\(2+\frac{14x-9}{2}=x-\frac32\).

\(2+7x-\frac92=x-\frac32\),

\(6x=3\), поэтому \(x=\frac12\).

б)

Так как \(0,2=5^{-1}\), а \(0,04=5^{-2}\), имеем:

\(\sqrt[3]{0,2}\cdot\sqrt{0,2^{2x-\frac13}}=5^{-\frac13}\cdot5^{-\frac{2x-\frac13}{2}}=5^{-x-\frac16}\).

Правая часть:

\(\sqrt[3]{0,04^{-3x+6}}=5^{-\frac23(-3x+6)}=5^{2x-4}\).

Следовательно, \(-x-\frac16=2x-4\), откуда \(3x=\frac{23}{6}\).

Ответ: а) \(x=\frac12\); б) \(x=\frac{23}{18}\).